矩阵与空间变换浅思
引言
圆与椭圆变换引发的对矩阵空间变换作用的思考。
空间中点的表示
在任意的一个空间中，我们要描述其中一个点的位置，需要以下三步：
- 确定原点
- 确定基向量
- 确定点的坐标/系数
例如，确定一组基向量记为$P = (\cdots, \vec{p_i}, \cdots)$，利用矢量和，空间中任意点$X$的位置可以如下描述：
$$
\vec{X} = (p_1, \cdots, \vec{p_i}, \cdots, p_n) \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_i\\ \vdots\\ a_n \end{bmatrix}
$$
上式用语言描述为：在$P$规定的基向量（坐标系）下，点$X$的描述（坐标）是$\vec{a} = (a_1, a_2, \cdots, a_n) ^ T$。
不同基向量下相同点的坐标
显然，对于同一个点$X$，在不同基向量（坐标系）下有不同的坐标。在$P$下，$X$的坐标为$\vec{a}$；在$Q$下，$X$的坐标为$\vec{b}$。
为了定量分析不同基向量间的联系，引入一个统一的默认基向量（坐标系）用来统一描述不同的基向量，例如xOy坐标系，右手坐标系，左手坐标系等。
在默认坐标系中，点$X$具有唯一的坐标$\vec{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$。
因此不难得到：
$$\vec{x} = P\cdot \vec{a} = Q \cdot \vec{b}$$
两种解读
对$\vec{x} = P\cdot \vec{a} = Q \cdot \vec{b}$有两种角度的解读。
“翻译”
已知：
- $Q$
- 点$X$在$Q$坐标下的坐标$\vec{b}$。
求解：
- $P$坐标系下点$X$的坐标。
显然，
$$\vec{a} = P^{-1} Q \vec{b}$$
空间变换
已知：
- 点$X$在默认坐标系下的坐标$\vec{x}$
对点$X$所在空间进行某种变换，变换后点$X$的坐标变为$\vec{a}$，该过程可描述为：
$$\vec{x} = P\cdot \vec{a}$$
下文将从空间变换的角度展开。
矩阵的空间变换
矩阵的空间变换是通过改变基向量实现的。在这个过程中：
- 坐标轴的方向会改变；
- 坐标轴的单位距离大小会改变；
- 源点位置不会改变。
因此，通过改变基变量，矩阵可以实现三种空间变换
- 旋转
- 伸缩
- 降维压缩（将向量从$R^n$空间映射到$R^m$空间，$R^n \to R^m, m < n$，矩阵不满秩）。
矩阵不会实现：平移变换。
下文将讨论旋转与伸缩变换。
旋转
点$X$的坐标（位置）可以用长度与夹角描述，即$\vec{x} = (l\cdot cos\alpha_1, l\cdot cos\alpha_2, \cdots, l\cdot cos\alpha_n)^T$。
具体地，考虑$R^2$空间，$\vec{x} = (l\cdot cos\alpha, l\cdot sin\alpha)$，$\alpha$为$\vec{x}$与横坐标夹角。
现将$R^2$空间中所有点逆时针旋转$\theta$，旋转后得到的新的点$X’$的坐标$x’$为：
$$
\begin{aligned}
x’ &= \begin{bmatrix} cos\theta, \quad -sin\theta \\
sin\theta, \quad cos\theta \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} l\cdot cos\alpha \\ l\cdot sin\alpha\end{bmatrix} \\
&= Q \cdot \vec{x}
\end{aligned}
$$
从上式可以得到以下解读：
- $Q$矩阵实现了空间旋转
- 旋转后的新基向量记为$\vec{q_i}, i=1,2, \cdots, n$，$Q = (\vec{q_1}, \vec{q_2}, \cdots, \vec{q_n})$
- $Q$的列向量保持正交，且模长为1。意味着$QQ^T=I$。
- 正交矩阵仅实现了空间旋转。
伸缩
矩阵对空间的伸缩指：沿着基向量的方向对空间矢量$\vec{x}$进行伸缩。
变化后，在默认坐标系下观察，与原向量相比，新向量与各基向量的夹角可能会变化；但在新坐标系下观察，角度没有变化。
考虑伸缩矩阵$\Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_1, &\quad 0, \quad \cdots, \quad 0 \\
0, &\quad \lambda_2, \quad \cdots, \quad 0 \\
\vdots, &\quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots \\
0, &\quad 0, \quad \cdots, \quad \lambda_n
\end{bmatrix}$，
其物理意义为将向量沿第$i$基向量方向、伸缩$\lambda_i$。
仍记新向量为$\vec{x’}$，即：
$$
\begin{aligned}
\vec{x’} &= \Lambda \cdot \vec{x} \\
&= (\lambda_1x_1, \lambda_2x_2, \cdots, \lambda_nx_n)^T
\end{aligned}
$$
显然，$\vec{x’}$的结果也反映了上述物理意义。
需要指出的是，此处$\Lambda$是对角矩阵，实现的空间变换是对默认基向量的伸缩，也就是伸缩沿着默认基向量的方向进行。
复合变换
所有空间变化都可以拆解为一系列旋转伸缩变化（不考虑降维）。（矩阵分解的一个体现？）
通常，我们倾向于将一个复杂矩阵分解为对角矩阵$\Lambda$与正交矩阵$Q$。
但是，如前文所述，由于对角矩阵是在默认基向量的方向上进行伸缩，所以$\Lambda \cdot Q$与$Q \cdot \Lambda$结果不同。下文将对此进行讨论。
旋转–>伸缩（$\Lambda \cdot Q$）
$$
\begin{aligned}
\Lambda Q \vec{x} &= \begin{bmatrix} \lambda_1 \quad \cdots \quad 0 \\
\vdots \quad \ddots \quad \vdots \\
0 \quad \cdots \quad \lambda_n
\end{bmatrix} \cdot
(\vec{q_1}, \vec{q_2}, \cdots, \vec{q_n}) \cdot \vec{x} \\
&= \begin{bmatrix} \lambda_1q_{11} \quad \cdots \quad 0 \\
\vdots \quad \ddots \quad \vdots \\
0 \quad \cdots \quad \lambda_nq_{nn}
\end{bmatrix} \cdot \vec{x}
\end{aligned}
$$
伸缩–>旋转（$Q \cdot \Lambda$）
$$
\begin{aligned}
Q \Lambda \vec{x} &= (\vec{q_1}, \vec{q_2}, \cdots, \vec{q_n}) \cdot \begin{bmatrix} \lambda_1 \quad \cdots \quad 0 \\
\vdots \quad \ddots \quad \vdots \\
0 \quad \cdots \quad \lambda_n
\end{bmatrix} \cdot \vec{x} \\
&= (\lambda_1\vec{q_1}, \lambda_2\vec{q_2}, \cdots, \lambda_n\vec{q_n}) \cdot \vec{x}
\end{aligned}
$$
圆与椭圆变换
中心位于原点的椭圆，可以看作是中心位于原点的单位圆沿着纵坐标、横坐标方向伸展变换后得到的结果。
单位圆可以定义为：
$$
X^TX = 1
$$
记变换矩阵为$\Lambda$，变换后的椭圆坐标为:
$$Y = \Lambda X$$
由此，可得$X = \Lambda^{-1} Y$，将其带入圆的定义为：
$$
Y^T (\Lambda^{-1})^T \Lambda^{-1}Y = 1
$$
记$P = \Lambda \Lambda^T$，则上式可改写为:
$$
Y^TP^{-1}Y=1
$$
即椭圆方程。