泊松分布
引言
在通信系统的性能分析中，对于新传输请求的到达常基于泊松分布建立模型，为了加深对泊松分布的理解，记录泊松分布的推导过程。
问题引入
现在有一台交换机，需要确定在时间$T$内，这台交换机处理$k$个数据包的概率是多大。将$T$内到达的数据包数量记为事件$X$，该问题的数学表达为
$$P(X=k) = ?$$
问题求解
理想模型
将观察时间$T$分为$n$段，保证每段内至多只有一个数据包到达。且已知数据包到达的概率为$p$，没有到达的概率为$q = 1 - p$。
那么，原问题就转化为一个二项分布问题，数学模型为：
$$P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
模型改进
上述模型中的两个假设存在一些限制：
- 交换机每秒都会收到多份数据包，为保证每段内至多只有一个数据包到达，应当将时段无限细分，即满足$n \to \infty$；
- 实际场景中很难统计一个数据包的到达概率。
改进方法：
- 对于第一个限制，在原模型基础上直接添加$n \to \infty$即可；
- 对于第二个限制，用均值计算概率。
下面展开介绍对假设二的改进。
二项分布的期望$\lambda$的计算公式为：
$$\lambda = n \cdot p$$
根据大数定律，当样本足够多时，均值以概率一与期望相等（$\overline{X} \stackrel{P}{\longrightarrow} E[X]$）。因此，可以在实际场景中用统计平均代替期望，进而计算出到达概率$p$，为：
$$p = \frac{\lambda}{n}$$
至此，改进后的模型所对应的数学模型可以写为：
$$\lim_{n \to \infty} P(X=k) = \lim_{n \to \infty} C_n^k \cdot (\frac{\lambda}{n})^k \cdot (1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}$$
将上式展开化简：
$$
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} P(X = k) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot (\frac{\lambda}{n})^k \cdot (1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot (\frac{\lambda}{n})^k\cdot (1-\frac{\lambda}{n})^{n} \cdot 1^{-k} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^k(n-k)!} \cdot (\frac{\lambda^k}{k!})\cdot e^{-\lambda} \\
&= 1 \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda} \\
\end{align}
$$
最后，化简后的结果即为泊松分布的表达式。由此，可以得到：泊松分布是二项分布的极限情况。
结果分析
- 泊松分布是二项分布的极限情况；
- 泊松分布中$\lambda$的含义是：$T$时长内事件发生的均值。